In questa lezione si analizzano le miscele d’aria e vapor acqueo; il nostro obiettivo e' comprendere ed acquisire il concetto di umidità atmosferica. Vengono introdotti i due fondamentali indici di misurazione dell’umidità: grado igrometrico e titolo. Sono mostrati i principali strumenti per la misura dell’umidità, infine alcune importanti applicazioni civili comunemente utilizzate in grado di modificare la quantità di vapor d’acqua nell’aria: il miscelatore ed il condizionatore d’aria

L’umidità, titolo e grado igrometrico *

Entalpia specifica *

Diagramma Psicrometrico *

Strumenti per la misura dell’umidità *

Esercizi *

Appendice – Tabella del vapore *

Definiamo Aria secca una miscela di gas la cui composizione (in volume) assumiamo costante:

• 78% Azoto

• 21% Ossigeno

• 1% Gas rari (tra cui elio, neon, argon) ed Anidride Carbonica. All’aria aperta la percentuale di CO₂ e' circa 0.03%, quindi si può considerare trascurabile.

L’Aria umida e' una miscela fra aria secca e vapor acqueo, la fase complessiva e' gassosa, inoltre in prima approssimazione tale sarà considerata una miscela di due gas ideali: infatti il vapor d’acqua presenta una pressione parziale molto piccola, quindi e' lecito trascurare il comportamento da vapore surriscaldato.

L’aria che comunemente respiriamo e' aria umida, la quantità di vapor acqueo presente nell’atmosfera e' variabile, analizziamo ora un primo esperimento utile per comprendere questo fenomeno oltre che per trovare un sistema di misurazione della quantità di vapor acqueo nell’aria.

Figura 1

Come mostrato in figura 1 viene posto un contenitore pieno d’acqua sotto una campana dove e' presente aria secca mantenendo T e P costanti. Dopo un certo tempo parte dell’acqua presente nel contenitore evapora. Il vapore formatosi si disperde nella campana, trasformando l’aria secca in aria umida. Il processo continua fino a che la pressione parziale del vapore saturo eguaglia la pressione di saturazione dell’acqua in funzione della temperatura T alla quale si opera (vedi tabella aria umida satura, appendice p.19).

Supponiamo di avere una bilancia opportunamente tarata sotto al contenitore d’acqua. Possiamo ora introdurre il concetto di titolo, così definito:

(1)

dove M_vap indica la massa del vapore e M_aria la massa dell’aria secca. Attenzione a non confondere il titolo appena definito con quello usato per caratterizzare i vapori saturi, che si indica con lo stesso simbolo x. Nel caso dell’aria secca, si avrà x = 0 mentre nel caso di vapore aqueo puro, x ® ¥ . Il titolo e' il rapporto tra pesi di sostanze chimiche diverse e non si tratta quindi di un numero puro, solitamente il titolo viene espresso in g_vap /kg _aria.

Il secondo metodo per indicare l’umidità dell’aria, e' il cosiddetto grado igrometrico (detta anche umidità relativa, o U.R.), così definito:

(2)

dove P_vap indica la pressione del vapore nella miscela aria-vapore considerata, e P_sat la pressione di saturazione del vapore acqueo alla temperatura di analisi.

Questa grandezza e' sempre compresa tra 0 e 1, quindi può essere rappresentata in forma percentuale (tramite una semplice moltiplicazione per 100). Tale grandezza viene comunemente utilizzata e fuori da un ambito ingegneristico viene preferita al titolo. E’ evidente che l’umidità relativa non possa mai superare il 100%. Se così fosse, si avrebbe P_vap > P_sat, impossibile in condizioni stazionarie perché in questo caso parte del vapore condenserebbe, e la pressione del vapore tenderebbe quindi ad abbassarsi fino a tornare ad un valore lecito. Tuttavia il grado igrometrico presenta uno svantaggio: l’U.R. non indica in senso assoluto quanto vapore acqueo e' contenuto nell’aria, ma piuttosto ci da’ un’idea di quanto l’aria sia distante dalla saturazione.

Il metodo migliore per legare i concetti di titolo, grado igrometrico e temperatura e' il diagramma psicrometrico, di cui e' presente una copia (Figura 2) ed una breve descrizione nel paragrafo successivo. Esiste comunque anche un’analisi analitica, facilmente ottenibile considerando aria e vapore acqueo gas perfetti, in queste condizioni e' possibile utilizzare la legge di Dalton (per le miscele di gas perfetti, si può considerare il volume a disposizione di ciascun gas uguale al volume totale)

(3)

da cui segue

(4)

dove n_v e n_a rappresentano rispettivamente il numero di moli di vapore e di aria secca presenti nella miscela di aria umida considerata, m_v e m_a le masse molari dei due componenti (essendo l’aria un miscuglio di vari gas, la sua massa molare viene calcolata come media pesata delle masse molari dei vari componenti). Infine P_tot e' la pressione totale della massa d’aria umida considerata e P_sat la pressione di saturazione del vapore alla temperatura considerata (questa grandezza si ottiene delle apposite tabelle del vapore). L’uguaglianza P_v = j P_sat deriva da (2).

Chiaramente la relazione (4) si può invertire, ottenendo il grado igrometrico in funzione del titolo (e della temperatura della massa d’aria analizzata), ottenendo

(5)

dove le grandezze hanno lo stesso significato di prima. Occorre però fare una precisazione: il grado igrometrico può valere al massimo 1, quindi e' necessario imporre questo vincolo quando si applica la formula di conversione (5). Se il risultato e' superiore a 1, sicuramente i dati utilizzati non sono validi, ossia non siamo in una situazione reale.

Il valore di x tale per cui j = 1, e' detto titolo di saturazione. Per ogni particolare temperatura non e' possibile che il titolo di una massa d’aria umida superi il titolo di saturazione (che varia in funzione di T).

Il calore specifico medio () e' definito come la media pesata dei calori specifici dell’aria e del vapore per la miscela che si sta considerando; sia

(Aria); (Vapore) (6)

dove x e' il titolo della miscela in esame; ricordando che

(7)

posso quindi definire

(8)

dove sono i calori specifici a pressione costante. Ora posso definire il concetto di entalpia specifica J come

(9)

(10)

dove e' il calore latente di vaporizzazione.

Ora, sapendo che : (11)

sostituendo a (9) ottengo

(12)

La (12) e' da ritenersi un ottimo strumento per la risoluzione di tutti quei problemi dove (come e' stato implicitamente fatto nei passaggi per arrivarci) e' consentita l’approssimazione a gas perfetto della miscela acqua-vapore.

Il diagramma psicrometrico e' di uso relativamente recente. In figura 2 ne e' rappresentato un esempio; nel resto della trattazione verranno usate porzioni di questo diagramma, quindi con le stesse unità di misura. E’ stato introdotto per la prima volta con l’Igrometro di Assman (detto appunto Psicrometro), attualmente uno dei modelli di igrometro più usato (per una descrizione vedi pagina 10).

Viene ora spiegato come bisogna leggere il grafico di figura 2:

• Sull’asse delle ascisse si trova la temperatura; un percorso lungo una linea retta verticale indica una variazione dello stato psicometrico a T costante.

• L’ordinata rappresenta il titolo x (misurato in questo caso in g_vap /kg _aria); quindi uno spostamento orizzontale non determina una variazione del rapporto fra quantità d’aria secca e vapore.

• Le linee diagonali decrescenti, come si può facilmente dedurre dal diagramma, sono le curve isoentalpiche, l’entalpia specifica J viene misurata in KJ/kgaria.

• Infine le curve crescenti, ciascuna identificata da un numero compreso tra 10 e 100 sono le curve a grado igrometrico costante. Per esempio la curva indicata dal numero 10 rappresenta un’umidità relativa del 10%, e così via per le altre. Ovviamente la prima curva da sinistra indica la regione dove j = 1 (U.R. del 100%); oltre questa curva si entra in una situazione impossibile, perché come già detto il grado igrometrico non può superare il valore 1 (saturazione).

Un tipico utilizzo di questo diagramma e' la conversione da grado igrometrico a titolo (o viceversa) una volta nota la temperatura dell’aria. Per esempio, supponiamo di conoscere il grado igrometrico di una certa massa d’aria, e sia nota anche la sua temperatura. In questo modo identifichiamo in modo univoco un punto sul diagramma, come intersezione tra la curva con il j specificato e la retta verticale corrispondente alla temperatura considerata. Proiettando il punto appena trovato sull’asse verticale, e misurandone l’altezza, si ottiene immediatamente il titolo della massa d’aria.

Per esempio, sapendo che a una temperatura di 25°C l’umidità relativa dell’aria e' dell’80%, si ottiene immediatamente un valore del titolo pari a x = 16g/kg_aria, ossia per ogni di aria secca sono presenti 16 di vapore acqueo.

Un’operazione utile da effettuare sul diagramma psicrometrico e' calcolare la pendenza delle curve a J=costante. Indicando con t la temperatura in gradi centigradi si ha

(13)

di conseguenza il differenziale di J vale

(14)

ma siccome stiamo analizzando curve a J = costante, necessariamente dJ = 0, cioe'

(15)

A temperatura ambiente (-10°C ¸ 40°C) ovviamente 2500 >> 1,9^.t e quindi possiamo trascurare il termine ottenendo un’equazione approssimata della forma

(16)

1) Igrometro a capello

Spesso al posto della scala graduata si trova un rullo di carta che ruota lentamente, ed al posto della lancetta un pennino; in questo modo i dati vengono registrati su carta quindi analizzabili in un secondo momento. In Figura 5 e' rappresentato un esempio di centralina meteo con rullo che effettua un giro completo (solitamente in 24 ore oppure una settimana). Il rullo e' visibile ma coperto da una vaschetta di plexiglas. I dati registrati sono tre: umidità, temperatura e pressione.

Questo tipo di strumenti si trova spesso in ambienti dove e' necessario un monitoraggio completo delle condizioni dell’ambiente, come per esempio in un museo (dove valori di umidità o temperatura fuori norma potrebbero danneggiare le opere d’arte). Esistono anche versioni elettroniche di queste centraline, più comode in molti casi, ma le cui registrazioni non hanno valore legale (perché facili da manomettere).

Questo metodo sfrutta la proprietà di alcuni materiali d’assorbire facilmente l’acqua presente nell’aria (come la bambagia, usata nel progetto originale). Assorbendo acqua questi aumentano il proprio peso. Ponendo su uno dei piatti della bilancia la sostanza campione prima e dopo un certo tempo, si verifica di quanto e' aumentato il suo peso. La quantità ottenuta e' semplicemente il valore della massa d’acqua assorbita, e conoscendo la massa d’aria oggetto della misura, si ottiene subito il titolo.

Un’applicazione più moderna e' un tubo con due griglie laterali, che lasciano passare l’aria ma non il materiale contenuto nel tubo. Al suo interno vengono posti cristalli di gel di silice o di acido solforico anidro, aria umida viene fatta passare attraverso una delle griglie, uscendo dall’altro. Al termine della misura si conosce la massa di acqua presente nell’aria originale (semplice differenza in massa tra la fine e l’inizio della misura).

E’ composto da una vaschetta metallica aperta, dove sulla superficie esterna e' posto il condensatore di una macchina frigorifera (come in una specie di gelatiera) ed un termometro, che fornisce la temperatura della vaschetta.

Il suo funzionamento e' piuttosto semplice: dell’etere, fatto evaporare rapidamente per mezzo di una corrente d’aria, raffredda il recipiente di metallo che lo contiene e l’aria a contatto con la parete raggiunge una temperatura T_r a cui corrisponde una certa pressione di vapore saturo; a questo punto un vapore umido si condensa e deposita sul metallo, rendendolo opaco. Con i due termometri si misurano le due temperature T_a (ambiente) e T_r.(parete della vaschetta) E’ così possibile, mediante diagramma psicrometrico, ricavare il punto fisico di nostro interesse, e da esso ricavare i valori incogniti

.

L’istante iniziale e' 1, a cui corrispondono una particolare temperatura (quella ambiente T_a), titolo e grado igrometrico. Man mano che il condensatore si raffredda, si percorre la linea rossa 1-2 (chiaramente il titolo non cambia, perché la quantità d’aria e vapore d’acqua resta la stessa). Il punto 2 e' il cosiddetto punto di rugiada, dove comincia ad avvenire la condensazione sulle pareti della vaschetta (si e' in saturazione).A questa situazione corrisponde la temperatura di rugiada T_r.

Il titolo (che resta costante durante tutta la trasformazione) e' stato indicato come x_sat, perché effettivamente si tratta del titolo di saturazione alla temperatura di rugiada misurata. Per conoscerne il valore basta applicare

(17)

che deriva da (4) ponendo semplicemente j = 1. Ovviamente P_sat(T_r) rappresenta la pressione di saturazione del vapore alla temperatura T_r (si legge sulle tabelle) e P_tot la pressione della massa d’aria oggetto della misura (eventualmente la pressione ambiente). Noto il titolo, e' immediato ottenere il grado igrometrico iniziale, estrapolandolo dal diagramma psicrometrico (oppure usando la formula (5) precedentemente trattata per la conversione titolo U.R. )

L’igrometro elettronico e' composto dal trasduttore (che può essere di tipo resistivo o capacitivo, ossia un condensatore che varia la propria capacità al variare del grado igrometrico dell’aria, come e' mostrato in Figura 10) e dal circuito di condizionamento.

Il resistore variabile (evidenziato in rosso) e' il trasduttore. Questo circuito ha la particolarità di imporre una tensione nulla sul voltmetro quando e' bilanciato, ossia quando le resistenze sui quattro rami sono uguali. Quindi una piccola variazione della resistenza su un ramo (quello contenente il sensore), corrisponde ad una grande variazione di tensione sul voltmetro. In realtà al posto del voltmetro può essere messo un qualsiasi circuito di condizionamento, per esempio un amplificatore seguito da un convertitore A/D che trasmette il segnale numerico ad un microprocessore (o microcontrollore) che lo analizza, lo registra o prende delle decisioni in base al valore acquisito.

Premendo l’analizzatore (proprio come una fisarmonica) si forza una quantità fissa e nota di aria (per molti modelli sono 100cm³) ad entrare nella fialetta. A questo punto le sostanze chimiche contenute in quest’ultima reagiscono con l’aria cambiando colore proporzionalmente alla grandezza da misurare. Le fialette stesse sono graduate, in modo renderne immediata la lettura.

Sono disponibili fialette di diverso tipo, ciascuna in grado di effettuare una misura differente. Vi sono fialette per la misura del grado igrometrico, altre capaci di verificare la presenza di gas tossici o infiammabili, altre ancora per l’analisi del livello di radioattività. Nella Figura 12 sono visibili alcuni esempi di fialetta (già usati). Questo metodo di misura ha innegabili vantaggi di praticità e semplicità d’uso, oltre ad essere piuttosto economico se il numero di misure da effettuare e' limitato. E’ per questo che l’analizzatore Drager e' utilizzato correntemente dai vigili del fuoco, per esempio per le analisi dell’aria in ambienti potenzialmente contaminati. Lo svantaggio e' che le fiale (oltre ad avere un tempo di vita limitato) sono usa e getta (dopo la rottura delle due chiusure laterali vanno usate immediatamente, e terminata la misura diventano inutilizzabili), quindi se le misure da effettuare sono tante, può essere più conveniente uno strumento con un più basso costo di mantenimento.

Nei due condotti d’entrata vengono posti altrettanti termometri, uno dei quali con avvolta intorno al bulbo una garza imbevuta d’acqua. A questo punto l’aria comincia a scorrere, e i termometri segnano due diverse temperature, con T_A>T_B (questo perché parte dell’acqua contenuta nella garza evapora, assorbendo il calore latente di vaporizzazione r, che causa quindi una diminuzione della temperatura). In base a queste misure e' possibile conoscere titolo e grado igrometrico dell’aria in ingresso. Per calcolare le relazioni matematiche che legano le diverse grandezze, consideriamo che, per un chilogrammo di aria secca,

(18)

dove il segno meno sta a indicare che si e' avuta una diminuzione dell’entalpia dell’aria, a causa dell’evaporazione di parte dell’acqua liquida presente nella garza, ma d’altra parte

(19)

e da queste segue

(20)

dove x rappresenta il titolo dell’aria umida. Si nota che la pendenza della funzione x(T) appena trovata e' uguale a quella di una curva a entalpia costante, la cui pendenza approssimata e' stata calcolata in (16).

Rappresentiamo quindi il funzionamento dell’igrometro di Assman sul diagramma psicrometrico, sapendo di doverci muovere su una curva di entalpia costante (approssimazione perfettamente accettabile).

Il punto B e' di rugiada, si trova cioe' sulla linea di grado igrometrico 1. Nota la temperatura T_B (che viene anche detta temperatura di bulbo bagnato) quindi e' noto immediatamente anche il punto B (intersezione tra la retta verticale corrispondente alla temperatura T_B e curva a grado igrometrico costantemente 1). Nota anche T_A, il punto A e' data dall’intersezione tra la curva a entalpia costante passante per B e la retta verticale corrispondente alla temperatura T_A. Noto anche il punto A, basta leggerne dal grafico il grado igrometrico e il titolo corrispondenti per conoscere i dati di umidità dell’aria in esame.

Concludendo, oltre al modello appena analizzazto esiste anche una particolare versione di psicrometro elettronico, dotato di trasduttori di temperatura che trasmettono i dati rilevati a un apposito microcontrollore, che fornisce direttamente i risultati dell’analisi. Si tratta forse dello strumento di misura dell’umidità più efficiente e preciso (ma e' anche molto costoso).

Essendo in condizioni di regime stazionario, abbiamo

mentre facendo il bilancio di massa del vapore acqueo

ma x₁ e x₂ possono essere facilmente determinati con la (4) (per ciascuna corrente e' nota la temperatura e il grado igrometrico)

dove il valore di 0,04753 e' ottenuto dalle tabelle del vapore. Analogamente

di conseguenza troviamo immediatamente il valore del titolo della corrente d’uscita

A questo punto ho definito due punti ben precisi sul diagramma psicrometrico e la soluzione cercata si trova sulla congiungente dei due punti. Ragionando a spanne potremmo dire che la soluzione e' il punto di media pesata (rispetto alla massa) dei i punti 1 e 2. Continuiamo però con una soluzione più rigorosa, effettuando il bilancio dell’energia

dove J_i rappresenta l’entalpia specifica dell’aria nel punto i-esimo (e M_Ai la relativa portata in massa). Il lavoro e il calore scambiati sono nulli, per le ipotesi di adiabaticità e isolamento meccanico del miscelatore fatte all’inizio dell’esercizio. Dalla formula precedente si ottiene

e, calcolando J₁ e J₂ usando la (6) otteniamo

e analogamente

quindi

A questo punto invertiamo la (6) per ottenere la temperatura dell’aria miscelata

controlliamo le tabelle del vapore per conoscere il valore della pressione di saturazione alla temperatura appena ottenuta

e applicando la (5)

Infine visualizziamo i dati relativi alle 3 correnti sul diagramma psicrometrico

Come si vede dalla Figura 4, le caratteristiche della corrente uscente sono una combinazione lineare delle caratteristiche della corrente entrante.

Un condizionatore d’aria e' un componente in grado di modificare i parametri di temperatura e grado igrometrico di una corrente d’aria calda iniziale, che viene trasformata in una corrente più fredda e secca all’uscita.

Un condizionatore (Figura 19) in generale e' composto da 4 elementi fondamentali. Innanzitutto una ventola, che facilità l’afflusso d’aria, e in figura e' rappresentata da una potenza entrante. Immediatamente dopo l’aria incontra una serpentina di raffreddamento (per esempio il condensatore di una macchina frigorifera) che le sottrae una calore per unità di tempo , in modo da portarla alla temperatura di rugiada. Le alette che si trovano subito dopo hanno il compito di raccogliere la condensa formatasi a causa del raffreddamento (vedi diagramma psicrometrico più sotto), formando acqua che viene incanalata in un tubicino (e poi scaricata oppure raccolta in bottiglioni per essere usata come acqua distillata). L’aria nel punto 2 e' satura e troppo fredda per essere immessa in un ambiente (perche' la condensazione richiede calore per avvenire, che viene sottratto dalla corrente d’aria), quindi passa attraverso l’ultima sezione del condizionatore, chiamata di post-riscaldamento, che fornendo il calore per unità di tempo scalda l’aria e la rende adatta ad essere immessa nell’ambiente, come nel punto 3.

Vediamo cosa succede all’aria, identificando tutte le fasi di trasformazione sul diagramma psicrometrico. All’ingresso del condizionatore (punto 1) l’aria e' calda (temperatura T₁) e umida. A contatto con la griglia di raffreddamento le viene sottratto il calore Q₁, quindi raffredda fino al punto 1’ (il titolo x₁ rimane costante perche' le masse di aria secca e vapore restano costanti), poi comincia la condensazione accompagnata da un notevole raffreddamento fino al punto 2, con temperatura T₂ (come si può vedere l’entalpia specifica della massa d’aria cala rapidamente). Inoltre anche il titolo cala (al valore x₂), perché una parte del vapore d’acqua condensa mentre la massa d’aria secca resta costante (evidentemente quindi il rapporto M_V/M_A scende), mentre il grado igrometrico rimane costantemente 1 (aria umida satura). A questo punto l’aria molto fredda viene post-riscaldata fornendole un calore Q₂, portandosi a una temperatura T₃ superiore, mentre il nuovo valore del titolo resta costante (x₂ = x₃) ma cala l’umidità relativa.

Vediamo un esercizio applicativo con dati numerici (la Figura 20 e' riferita a questi dati).

Dapprima possiamo facilmente calcolare il titolo dell’aria in ingresso (x₁) come nell’esercizio precedente, quindi

e analogamente per il titolo dell’aria in uscita

D’altra parte l’aria secca e' un gas perfetto, quindi

e

quindi

che rappresenta la portata in massa di aria secca in uscita (che equivale a quella di ingresso ). Possiamo quindi facilmente trovare la portata in massa dell’acqua condensata, come

A questo punto facciamo il bilancio energetico della prima parte del condizionatore (comprendente i punti 1 e 2), ottenendo

dove h_l rappresenta l’entalpia specifica dell’acqua liquida in fase di condensazione. La temperatura di quest’ultima può essere estrapolata dal diagramma psicrometrico oppure dalle tabelle dell’aria satura, ottenendo

(in realtà dalle tabelle si otterrebbe un valore del titolo, per aria satura alla temperatura di 10°C, pari a 0,00762 kg_V/kg_A contro i 0,0074 kg_V/kg_A del nostro caso, quindi con un errore ancora accettabile).

A questo punto calcoliamo le entalpie specifiche dell’aria in 1, 2 e 3, ottenendo

mentre l’entalpia specifica dell’acqua liquida condensata

di conseguenza sostituendo nell’equazione di bilancio energetico otteniamo

dove il segno meno sta ad indicare che e' un calore uscente dal sistema (sottratto dall’aria) mentre il lavoro e' negativo perché effettuato sul sistema.

Infine, scrivendo l’equazione di bilancio energetico per la seconda parte del condizionatore (punti 2-3) otteniamo

che rappresenta il calore che deve essere fornito alla batteria di post-riscaldamento.

Viene di seguito allegata una tabella contenente i dati fondamentali (titolo ed entalpia specifica) dell’aria umida satura, a diverse temperature e pressione atmosferica (P = 1,013 BAR).

Temperatura dell’aria T °C	Pressione di vapore dell’aria satura P mbar P mmHg		Titolo di saturazione x g/Kg
-20	1.02	0.756	0.63
-19	1.13	0.848	0.7
-18	1.25	0.938	0.77
-17	1.37	1.028	0.85
-16	1.5	1.125	0.93
-15	1.65	1.238	1.01
-14	1.81	1.358	1.11
-13	1.98	1.485	1.22
-12	2.17	1.628	1.34
-11	2.37	1.778	1.46
-10	2.59	1.943	1.6
-9	2.83	2.123	1.75
-8	3.09	2.318	1.91
-7	3.36	2.520	2.08
-6	3.67	2.753	2.27
-5	4	3	2.49
-4	4.36	3.270	2.69
-3	4.75	3.563	2.94
-2	5.16	3.870	3.19
-1	5.61	4.208	3.47
0	6.09	4.568	3.78
1	6.56	4.920	4.07
2	7.04	5.280	4.37
3	7.57	5.678	4.7
4	8.11	6.083	5.03
5	8.7	6.526	5.4
6	9.32	6.991	5.79
7	9.99	7.493	6.21
8	10.7	8.026	6.65
9	11.46	8.596	7.13
10	12.25	9.188	7.63
11	13.09	9.818	8.15
12	13.99	10.493	8.75
13	14.94	11.206	9.35
14	15.95	11.963	9.97
15	17.01	12.759	10.6
16	18.13	13.599	11.4
17	19.32	14.491	12.2
18	20.59	15.444	12.9
19	21.92	16.441	13.8
20	23.31	17.484	14.7
21	24.8	18.602	15.6
22	26.37	19.779	16.6
23	28.02	21.017	17.7
24	29.77	22.3	18.8
25	31.6	23.702	20
26	33.53	25.150	21.4
27	35.56	26.672	22.6
28	37.71	28.285	24
29	39.95	29.965	25.6
30	42.32	31.748	27.2
31	44.82	33.618	28.8
32	47.46	35.575	30.6
33	50.18	37.638	32.5
34	53.07	39.806	34.4
35	56.1	42.078	36.6
36	59.26	44.449	38.8
37	62.6	46.954	41.1
38	66.09	49.572	43.5
39	69.75	51.317	46
40	73.58	55.198	48.8
41	77.59	58.197	51.7
42	81.8	61.355	54.8
43	86.18	64.64	58
44	90.79	68.098	61.3
45	95.6	71.706	65
46	100.61	75.464	68.9
47	105.87	79.409	72.8
48	111.33	83.504	77
49	117.07	87.81	81.5
50	123.04	92.288	86.2
55	150.94	117.715	114
60	198.7	149.037	152
65	249.38	187.05	204
70	310.82	233.134	276
75	384.5	288.398	382
80	472.28	354.239	545
85	576.69	432.553	828
90	699.31	524.525	1400
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